呟き(ずっと仮題)

カントールの対角線論法

あれは、確か大学3回生のときだったかな。

「整数と有理数どっちが多い?」と、とある講義の教官に問われたことがある。

「そら、有理数でしょう。」と。
あっさりと答えたもんですが、その証明方法は不明なままだった。




さて、時は流れ、数分前

「たけしのコマ大数学科」って番組で、カントールの対角線論法(wikipedia)についての話があった。


Q:自然数と、[0, 1]区間の実数はどちらが多いでしょうか?


まず、自然数と[0,1]の実数の対応を、無限個作る。

1 : 0.124353...
2 : 0.673426...
3 : 0.823464...
4 : 0.742451...
5 : 0.246234...
・    ・
・    ・
・    ・
∞ : 0.424658...


さて、次に上の対応表から[0,1]区間の実数を作ります。
作り方は、
小数点一桁目は自然数1に対応する実数の小数点一桁目
小数点二桁目は自然数2に対応する実数の小数点二桁目
以下同




つまり、上の例で言えば、

1 : 0.[1]24353...
2 : 0.6[7]3426...
3 : 0.82[3]464...
4 : 0.742[4]51...
5 : 0.2462[3]4...
・    ・
・    ・
・    ・

と盗っていき、0.17343...という実数を作ることになります(これを、Aとしましょうか)。

次に、この実数の各桁を1つずらします(増やしても減らしても、なんなら2つでも良い。要は違う数字にすればいいだけなんだけど)

全部増やせば、0.28454...という実数になります(これを、Bとしますかね)。



この作成された実数は、最初に作った対応表には入っていない実数になります。
なぜなら、Bはどの実数とも必ず1桁は違う数字になっているからです。

最初の対応表のどの実数からも、一つ桁と数値が一致している部分が出来るように、Aを作ったはずです。
Aは、その後、全ての桁の数値を変更したので、Aでは一致していた桁の数値がBでは必ず違う数値になっています。
よって、同じ実数ができることはありえないわけです。

※わかりにくい?

対応表で言えば、
Aと1に対応する実数の小数点1桁目は必ず一致しているはず。
しかし、逆に、Bと1に対応する実数の小数点1桁目は必ず一致しない
ってことですね。




昔問われた問題とは違いますが、実数と自然数の量の違いをこんなシンプルに証明してしまうなんて・・・

あまりに目鱗だったので、布団から起き出して書いてしまいました。





余談ですが、その前に出てた問題。


ある村には赤か青の帽子を被った小人が400人いました。赤色帽子の小人は200人、青色帽子の小人は200人います。
しかし、小人は自分の帽子の色を知りませんし、他人の帽子の話をすることはできません。

自分の帽子が赤色だと分かったら、次の日から参加できなくなる祭りが開催されます。
初日は400人全員が参加しました。

さて、赤色帽子の小人が全員いなくなるのは、何日後でしょうか?
※小人たちは、今回の祭りで初めて各帽子の人数を数えたという前提でお答えください。
※赤・青ともに1人以上います。
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by judas121 | 2009-05-29 02:11 | 学問
ネタにまみれた業務請負会社勤務?の日常(旧題:ユダの呟き)
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 得意な科目は『理科』・『社会』の自称社会派理系。
 理系大学院を出たにも関わらず、何を血迷ったか文系職に。
 血反吐を吐きながら、成長を続けている(と信じている)。

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